Aplikasi Integral: Mencari Luas Daerah yang dibatasi Kurva

Luas daerah yang beraturan dapat dihitung menggunakan rumus yang sudah ditentukan, lalu bagaimana untuk luas daerah yang tidak beraturan? Solusinya adalah menghitung luas daerah dengan integral. Misalnya, luas persegi dapat dicari dengan menggunakan rumus sisi x sisi, persegi panjang dapat dicari dengan menggunakan rumus panjang x lebar, sedangkan luas yang dibatasi oleh kurva x² dan garis y=x dapat dihitung dengan menggunakan integral.

Berikut ini adalah aturan penggunaan aturan integral dalam mencari luas daerah yang dibatasi oleh kurva

Luas daerah yang dibatasi kurva f(x) pada selang a dan b di atas sumbu x		L\;=\;\int_{a}^{b}f(x)\;dx
Luas daerah yang dibatasi kurva f(x) pada selang a dan b di atas sumbu x		L\;=\;-\int_{a}^{b}f(x)\;dx
Luas daerah yang dibatasi kurva f(x)pada selang c dan d di kanan sumbu y		L\;=\;\int_{c}^{d}f(y)\;dy
Luas daerah yang dibatasi kurva f(x)pada selang c dan d di kiri sumbu y		L\;=-\;\int_{c}^{d}f(y)\;dy
Luas daerah yang dibatasi kurva f(x) dan g(x)		L\;=\;\int_{a}^{b}{\left(f(x)-g(x)\right)}\;dx

Contoh Soal dan Pembahasan:

Tentukan luas yang dibatasi oleh garis y = −x + 2 dan y = x²!

Jawab:
Pertama, yang perlu dikerjakan adalah meelihat daerah yang dibatasi kurva dengan menggambarkan sketsanya, seperti gambar berikut ini.


Selanjutnya adalah menentukan batas (titik perpotongan dua kurva)

y = y \rightarrow -x + 2=x^{2}

x^{2} + x - 2 = 0

{\left(x+2\right)\left(\right x-1)}

Sehingga diperoleh nilai x = &minus2 dan x = 1,
Jadi, luas yang dibatasi oleh kurva y = x^{2} dan y = &minus x + 2 adalah

L=\int_{-2}^{1}{\left(-x+2\right)}-x^{2}\right)}dx

=\int_{-2}^{1}-x^{2}-x+2 dx

=\left [ -\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}+2x \right ]_{-2}^{1}

=\left [ -\frac{1}{3}{\left(-2 \right)}^{3}-\frac{1}{2}{\left(-2 \right)}^{2}+2{\left(-2 \right)}\right ]-\left [ -\frac{1}{3}{\left(1 \right)}^{3}-\frac{1}{2}{\left(1 \right)}^{2}+2{\left(1 \right)}\right ]

=\left [ -\frac{1}{3}{\left(-8 \right)}-\frac{1}{2}{\left(4 \right)}+2{\left(-2 \right)}\right ]-\left [ -\frac{1}{3}{\left(1 \right)}-\frac{1}{2}{\left(1 \right)}+2{\left(1 \right)}\right ]

=\left [ \frac{8}{3}-2-4\right ]-\left [ -\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2\right ]

=-\frac{19}{6}

= \begin{vmatrix} -3\frac{1}{6}\;\textrm{satuan luas} \end{vmatrix}

= 3\frac{1}{6}\;\textrm{satuan luas}