Bentuk Akar

Seperti halnya pada materi eksponen, akar juga memiliki sifat-sifat akar yang diperlukan untuk menyelesaikan soal dalam bentuk akar. Sifat-sifat akar dapat dilihat sepeti rumus umum berikut.

\sqrt[n]{a^{m}}\;=\;a^{\frac{m}{n}}

\sqrt[n]{ab}\;=\;\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}

\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\;=\;\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}

\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}\;=\;\sqrt[m\cdot n]{a}

Bentuk-bentuk Akar Sekawan
Bentuk akar sekawan digunakan untuk merasionalkan bentuk akar dalam menyederhanakan pecahan. Bentuk akar sekawan menyesuaikan pembilang dari suatu pecahan.
Bentuk umum akar dan akar sekawannya dapat dilihat seperti rumus berikut.

Bentuk akar	Akar sekawan
\left(a+\sqrt{b}\right)	\left(a-\sqrt{b}\right)
\left(a-\sqrt{b}\right)	\left(a+\sqrt{b}\right)
\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)	\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)
\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)	\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)

Menyedarhanakan bentuk pecahan dalam bentuk akar dapat dilakukan dengan mengalikan akar sekawannya. Caranya dapat dilihat seperti berikut ini.

\frac{a}{\sqrt{b}}\;=\;\frac{a}{\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}\;=\;\frac{a \sqrt{b}}{\sqrt{b}}

\frac{a}{b + \sqrt{c}}\;=\;\frac{a}{b + \sqrt{c}} \cdot \frac{b - \sqrt{c}}{b - \sqrt{c}}\;=\;\frac{a \left(b - \sqrt{c}\right)}{b - \sqrt{c}}

\frac{a}{b - \sqrt{c}}\;=\;\frac{a}{b - \sqrt{c}} \cdot \frac{b + \sqrt{c}}{b + \sqrt{c}}\;=\;\frac{a \left(b + \sqrt{c}\right)}{b + \sqrt{c}}

Contoh soal dan pembahasan

\textrm{Bentuk sederhana dari}\;\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}\;\textrm{adalah ....}\; \textrm{(Soal UN 2016)}

\textrm{A. }\frac{2}{3}\sqrt{35}-\frac{2}{3}\sqrt{14}

\textrm{B. }\frac{2}{3}\sqrt{35}-\sqrt{5}

\textrm{c. }\frac{2}{3}\sqrt{14}-\frac{2}{3}\sqrt{14}

\textrm{D. }\frac{2}{3}\sqrt{14}+\frac{2}{3}\sqrt{35}

\textrm{E. }\frac{2}{3}\sqrt{35}+\frac{2}{3}\sqrt{14}

Pembahasan

\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}\;=\;\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{2} - {\sqrt{5}}}{\sqrt{2} - {\sqrt{5}}}\;
=\;\frac{2\sqrt{14}-\sqrt{35}}{2-5}\;=\;\frac{-2}{3}\sqrt{14}+\frac{2}{3}\sqrt{35}\;=\;\frac{2}{3}\sqrt{35}\;-\;\frac{2}{3}\sqrt{14}

Jawaban: A

\textrm{Bentuk sederhana dari}\;\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{\sqrt{3}+2}\;\textrm{adalah ....}

\textrm{A. }4-2\sqrt{3}

\textrm{B. }2-\sqrt{3}

\textrm{C. }-2+\sqrt{3}

\textrm{D. }-4+\sqrt{3}

\textrm{E. }-4-2\sqrt{3}

Pembahasan:

\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{\sqrt{3}+2}\;=\;\frac{5-3}{\sqrt{3}+2} \frac{5-3}{\sqrt{3}+2}\;

=\;\frac{2}{\sqrt{3}+2} \cdot \frac{\sqrt{3} - 2}{\sqrt{3}-2}

=\;\frac{2\sqrt{3}-4}{3-4}

=\;\frac{2\sqrt{3}-4}{-1}\;=\;4-2\sqrt{3}

Jawaban: A