Turunan

Definisi

Turunan adalah ilmu yang awalnya berkembang dari sebuah rumus kemiringan garis sehingga diperoleh definisi berikut.

f'(c)=\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}

1.   Turunan Fungsi

f(x)=x \rightarrow f'{x}=1

f(x)=x^{n} \rightarrow f'{x}=nx^{n-1}

\frac{d\;{k \cdot f(x)}}{dx} =k\cdot \frac{d\;f(x)}{dx}\textrm{, dengan k adalah konstanta bilangan real}

\frac{d\;(f(x)+g(x)}{dx}=\frac{d\;f(x)}{dx}+\frac{d\;g(x)}{dx}

\frac{d\;(f(x)-g(x)}{dx}=\frac{d\;f(x)}{dx}-\frac{d\;g(x)}{dx}

\frac{d\;((f \cdot g)(x)}{dx}=f(x)\cdot \frac{d\;g(x)}{dx}+g(x)\cdot \frac{d\;f(x)}{dx}

d\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{g(x)\cdot \frac{d\;g(x)}{dx}-f(x)\cdot \frac{d\;g(x)}{dx}}{g^{2}(x)}

2.   Turunan Fungsi Trigonometri

fungsi	turunan
sin x	cos x
cos x	− sin x
tan x	sec2x
cot x	− cosec2x
sec x	sec x.tan x
− cosec x	− cosec x . cot x

3. Aturan rantai

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

Contoh Soal dan Pembahasan:

Contoh 1

Tentukan turunan pertama dari y = 2x³−3x²+7x!

Jawab:

\frac{dy}{dx}=\frac{d(2x^{3}-3x^{2}+7x)}{dx}

=d{2x^{3}}{dx}-d{x^{2}}{dx}+d{7x}{dx}

=2\cdot 3x^{2}-2\cdot 3x+7\cdot 1

= 6x^{2}-6x+7

Contoh 2

\textrm{Tentukan turunan pertama dari }\frac{6t}{2t^{2}+1}\;dt!

Jawab:

\frac{6t}{2t^{2}+1}\;dt=\frac{6\cdot \left (2t^{2}+1 \right )-6t\cdot\left(4t \right )}{{\left (2t^{2}+1 \right )^{2}}}

\: =\frac{12t^{2}+6 - 24t^{2}}{{\left (2t^{2}+1 \right )^{2}}}

\: =\frac{-12t^{2}+6}{{\left (2t^{2}+1 \right )^{2}}}

Contoh 2

\textrm{Tentukan turunan pertama dari }y=sin^{3}{\left(x^{2}+1\right)}!

Jawab:
Misalkan: u = sin v dan v = x²+1
Maka,

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dv}\cdot\frac{dv}{dx}

\frac{dy}{dx}= d \frac{u^{3}}{du}\cdot d\frac{sin v}{dv}\cdot d \frac{{\left(x^{2}+1\right)}}{dx}

= 3u^{2}\cdot cos v \cdot 2x

= 3sin^{2}v \cdot cos \left ( x^{2}+1 \right ) \cdot 2x{dx}

= 3sin^{2}{\left ( x^{2}+1 \right )} \cdot cos \left ( x^{2}+1 \right ) \cdot \;2x

= 6xsin^{2}{\left ( x^{2}+1 \right )} \cdot cos \left ( x^{2}+1 \right ) \cdot