Integral: Dasar

Integral adalah fungsi kebalikan dari fungsi turunan sehingga sering disebut dengan anti turunan. Fungsi integral dapat digunakan untuk menghitung luas dan volume dari bidang tidak beraturan seperti luas dari bidang yang dibatasi oleh kurva.

Rumus-rumus umum pengintegralan:

\int \textrm{k dx}=\textrm{k}\cdot\textrm{x + C}

\int \textrm{x}^r\textrm{ dx}=\frac{\textrm{1}}{\textrm{r + 1}}\textrm{.x + C, dengan r}\neq -\textrm{1}

\int \textrm{p}\cdot\textrm{x}^r\textrm{ dx}=\frac{\textrm{p}}{\textrm{r + 1}}\textrm{.x + C, dengan r}\neq -\textrm{1}

\int \textrm{px + q}^{r}\textrm{ dx}=\frac{1}{p(r + 1)}\textrm{(px + q)}^{r+1}\textrm{ + C}

\int \textrm{k}\cdot\textrm{f(x) dx}=\textrm{k}\int \textrm{f(x)} + C}

\int \textrm{f(x) + g(x) dx}=\int\textrm{f(x) dx} + \int\textrm{g(x) dx}

\int \textrm{f(x)}-\int\textrm{g(x) dx}=\int\textrm{f(x) dx} - \int\textrm{g(x) dx}

Integral tentu merupakan integral dengan batas yang telah ditentukan. Bentuk umum integral tentu dinyatakan dalam bentuk berikut.

\int_{a}^{b}f(x)\;dx=\left [F(x)\right]\left.\begin{matrix}a\\b\end{matrix}=F(b)-F(a)

Sifat-sifat integral tentu:

\int_{a}^{a}f(x)\;dx=\left [F(x)\right]\left.\begin{matrix}a\\a\end{matrix}=F(a)-F(a)=0

\int_{a}^{b}f(x)\;dx=-\int_{b}^{a}f(x)\;dx

\int_{a}^{b}k\cdotf(x)\;dx=k\int_{a}^{b}f(x)\;dx\textrm{, dengan k adalah konstanta bilangan real}

\int_{a}^{b}\left (f(x) + g(x) \right )\;dx=\int_{a}^{b}f(x)\;dx + \int_{a}^{b}g(x)\;dx

\int_{a}^{b}\left (f(x) - g(x) \right )\;dx=\int_{a}^{b}f(x)\;dx - \int_{a}^{b}g(x)\;dx

\int_{a}^{c}f(x)\;dx=\int_{a}^{b}f(x)\;dx + \int_{b}^{c}f(x)\;dx\textrm{, dengan }a< b< c

\int_{a+p}^{b+p}f(x)\;dx=\int_{a}^{b}f(x)\;dx

Contoh soal dan pembahasan:

Contoh 1

\textrm{Carilah hasil dari }\intx^{3}\sqrt{x^{4}+11}\;dx!

Jawab:

\textrm{Misalkan: u =}x^{4}+11\rightarrow\textrm{du = 4}x^{3}\textrm{dx}\rightarrow{dx = }\frac{\textrm{du}}{4x^{3}}

Sehingga akan diperoleh,

\int x^{3} \sqrt{x^{4}+11}\;dx=\int x^{3} \sqrt{u}\;\frac{\textrm{du}}{4x^{3}}

=\int\sqrt{u}\frac{\textrm{ du}}{4}

=\frac{1}{4}\int\sqrt{u}\textrm{ du}

=\frac{1}{4}\cdot \frac{2}{3}\cdot u^{\frac{3}{2}}\textrm{ + C}

=\frac{1}{6}\left(x^{4}+11\right)^{\frac{3}{2}}\textrm{ + C}

Contoh 2

\textrm{Carilah hasil dari }\int \frac{x+1}{(x^{2}+2x+6)^{2}}\;dx\;!

Jawab:

\textrm{Misalkan: u =}x^{2}+2x+6\rightarrow\textrm{du = 2x + 2}\textrm{dx}\rightarrow{dx = }\frac{\textrm{du}}{\textrm{2x + 2}}\rightarrow{dx = }\frac{\textrm{du}}{\textrm{2(x + 1)}}

Sehingga akan diperoleh,

\int \frac{x+1}{(x^{2}+2x+6)^{2}}\;dx\;=\;\int\frac{x + 1}{u^{2}}\;\frac{du}{2(x+1)}

=\int\frac{1}{u^{2}}\;\frac{du}{2}

=\frac{1}{2}\cdot\int u^{-1}\; du

=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{-2+1}u^{-2+1}\;+ C

=\frac{1}{2}\cdot -u^{-1} + C

=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{u} + C

=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^{2}+2x+6} + C