Logaritma: Persamaan Logaritma

Soal-soal dalam persamaan logaritma memiliki berbagai bentuk soal. Bagaimanapun variasi soal yang diberikan, dapat diselesaikan dengan mudah dengan menggunakan sifat-sifat persamaan logaritma berikut ini.

Jenis 1

^alog f(x) = ^alog b maka f(x) = b, dengan f(x)>0

Contoh soal dan pembahasan:

^{3}\textrm{log 2x}^{2} - \textrm{x = 1}

Jawab:

^{3}\textrm{log 2x}^{2} - \textrm{x = }^{3}\textrm{log 3}

^{3}\textrm{log 2x}^{2} - \textrm{x = }\textrm{3}

\textrm{2x}^{2}-\textrm{ x = }\textrm{3}

\textrm{2x}^{2}-\textrm{ x }-\textrm{ 3 = 0}

\textrm{2x}^{2}+\textrm{ 6x + x)}-\textrm{ 3 = 0}

\textrm{2x(x+3)}-\textrm{(x }-\textrm{3) = 0}

\textrm{(2x}-\textrm{1)}-\textrm{(x }-\textrm{3) = 0}

Sehingga diperoleh nilia x yang memenuhi yaitu

\textrm{2x}-\textrm{1} \rightarrow \textrm{x = }-\frac{1}{2}\textrm{ dan x = 3}

Jenis 2

^{a}\textrm{log f(x) = }^{b}\textrm{log f(x) maka f(x) = 1, dengan a}\neq \textrm{b}

Contoh soal dan pembahasan:

\textrm{Tentukan nilai x yang memenuhi }^{2}\textrm{log 2x}^{2}-\textrm{6x}-\textrm{7 = }^{3}\textrm{log 2x}^{2}-\textrm{6x}-\textrm{7}

Jawab:

\textrm{2x}^{2}-\textrm{6x}-\textrm{7 = }\textrm{1}

\textrm{2x}^{2}-\textrm{6x}-\textrm{8 = }\textrm{0}

\textrm{2x}^{2}\textrm{+ 2x}-\textrm{8x}-\textrm{8 = 0}

\textrm{2x(x + 2)}-\textrm{4(x + 2) = 0}

\textrm{(2x}-\textrm{4)(x + 2) = 0}

Sehingga diperoleh nilai x yang memenuhi persamaan logaritma pada soal adalah

\textrm{(2x}-\textrm{4) = 0} \rightarrow \textrm{2x = 4, x = 2}

\textrm{(x + 2) = 0}\rightarrow \textrm{x = }-\textrm{2}

Jenis 3

^{a}\textrm{log f(x) = }^{a}\textrm{log g(x) maka, f(x) = g(x) dengan f(x)}>0 \textrm{ dan g(x)}>\textrm{0}

Contoh soal dan pembahasan:

\textrm{Tentukan nilai x yang memenuhi }^{5}\textrm{log 2x}^{2}\textrm{ + 5x}-\textrm{10 = }^{5}\textrm{log x}^{2}-\textrm{2x + 18}

Jawab:

\textrm{2x}^{2}\textrm{ + 5x}-\textrm{10 = }\textrm{x}^{2}+\textrm{2x + 18}

\textrm{2x}^{2}-\textrm{x}^{2}\textrm{ + 5x}-\textrm{2x}-\textrm{10}-\textrm{18} = 0}

\textrm{x}^{2}\textrm{ + 3x}-\textrm{28 = 0}

\textrm{(x}-\textrm{4)(x + 7) = 0}

Sehingga diperoleh nilai x yang memenuhi adalah

\textrm{(x}-\textrm{4) = 0}\rightarrow \textrm{x = 4}

\textrm{(x + 7) = 0}\rightarrow\textrm{x = }-\textrm{7}

Jenis 4

^{f(x)}\textrm{log g(x)=}^{f(x)}\textrm{log h(x) maka g(x)=h(x),}

dengan f(x)>1, g(x)>0, dan h(x)>0}

Contoh soal dan pembahasan:

\textrm{Tentukan nilai x yang memenuhi }^{x^{2}-1}\textrm{log 2x}^{2}-\textrm{2x + 20 = }^{x^{2}-1}\textrm{log x}^{2}\textrm{ + 6x + 5}

Jawab:

\textrm{2x}^{2}-\textrm{2x + 20 = x}^{2}\textrm{ + 6x + 5}

\textrm{2x}^{2}-\textrm{x}^{2}-\textrm{2x}-\textrm{6x + 20}-\textrm{5 = 0}

\textrm{x}^{2}-\textrm{8x + 15 = 0}

\textrm{(x}-\textrm{3)(x}-\textrm{5) = 0}

Sehingga diperoleh nilai x yang memenuhi adalah

\textrm{(x}-\textrm{3) = 0}\rightarrow\textrm{x=3}

\textrm{(x}-\textrm{5) = 0}\rightarrrow\textrm{x = 5}

Jenis 5

Persamaan kuadrat yang dapat diubah kedalam bentuk persamaan kuadrat maka penyelesaiannya dapat dicari dengan mengubah persamaan logaritma ke dalam bentuk persamaan kuadrat kemudian menyelesaikan persamaan kuadratnya.

Contoh soal dan pembahasan:

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan logaritma berikut!

^{3}\textrm{log}^{2}\textrm{x}-\textrm{7.log x + 12 = 0}

Jawab:
Misalkan: p = ³log x
Sehingga diperoleh

\textrm{p}^{2}-\textrm{7p + 12 = 0}

\textrm{(p}-\textrm{4)(p}-\textrm{3) = 0}

sehingga diperoleh nilai p

\textrm{(p}-\textrm{4) = 0}\rightarrow\textrm{p = 4}

\textrm{(p}-\textrm{3) = 0}\rightarrow\textrm{p = 3}

Substitusi nilai p = ³log 3x, sehingga akan diperoleh nilai x.

^{3}\textrm{log x = 4}\rightarrow\textrm{x = 3}^{4}\textrm{= 81}

^{3}\textrm{log x = 3}\rightarrow\textrm{x = 3}^{3}\textrm{= 27}

Semoga bisa membantu memahami materi persamaan logaritma, silahkan tinggalkan komentar di bawah jika ada pertanyaan.