Logaritma: Definisi dan sifat-sifat logaritma

Definisi
Fungsi logaritma merupakan kebalilkan (invers) dari fungsi eksponen atau perpangkatan. Secara umum, bentuk logaritma dinyatakan dalam bentuk berikut.

^{a}log\textrm{ b} = c\leftrightarrow a^{c}=b

Contoh menghitung nilai logaritma

^{2}log8= ....

Untuk menyelsaikan nilai logaritma di atas, kita perlu mencari tahu nilai berapa yang tepat untuk mengganti x pada persamaan 2^x=8. Nilai yang tepat untuk mengganti nilai x adalah 3 karena 2³=8.
Jadi, nilai ²log 8 = 3.

Contoh nilai logartima lainnya adalah sebagai berikut
³log 27 = 3 karena 3³=27
³log 243 = 5 karena 3⁵=243
⁴log 16 = 2 karena 4²=16
⁵log 125 = 3 karena 5³=125
¹⁰log 100 = 2 karena 10²=100

Sifat-sifat Logaritma
Kunci sukses untuk menyelesaikan soal-soal logaritma yang lebih rumit adalah memahami dan menguasai sifat-sifat logaritma seperti berikut.

^alog bc = ^alog b + ^alog c

^{a}\textrm{log }\frac{b}{c}\textrm{ = }^{a}\textrm{log b }-\textrm{ }^{a}\textrm{log c}

^alog bⁿ = n^alog b

^{a}\textrm{log b}^{n}\textrm{ = }\frac{n}{m}\textrm{.}^{a}\textrm{log b}

^{a}\textrm{log b = }\frac{\textrm{log b}}{\textrm{log a}}\textrm{ = }\frac{1}{^{b}\textrm{log a}}

^alog b . ^blog c = ^alog c
a^{alog b} = b
^alog a = 1
^alog 1 = 0

Berikut adalah contoh-contoh soal yang menggunakan sifat-sifat logaritma.
Contoh 1:

\textrm{Nilai dari }\frac{^{5}\textrm{log 3.}^{9}\textrm{log 125 + }^{5}\textrm{log 625}}{^{3}\textrm{log 81}-^{3}\textrm{log 9}}\textrm{= .... (Soal UN 2016)}

\textrm{A. }\frac{121}{4}

\textrm{B. }\frac{111}{4}

\textrm{C. }\frac{121}{16}

\textrm{D. }\frac{81}{16}

\textrm{E. }\frac{11}{4}

Pembahasan:

\frac{^{5}\textrm{log 3.}^{9}\textrm{log 125 + }^{5}\textrm{log 625}}{^{3}\textrm{log 81}-^{3}\textrm{log 9}}\textrm{ = }\frac{^{5}\textrm{log 3.}^{3^{2}}\textrm{log 5}^{3} \textrm{ + } ^{5}\textrm{log 5}^{4}}{^{3}\textrm{log }\frac{81}{9}}

\textrm{ = }\frac{^{5}\textrm{log 3.}\frac{3}{2}^{3}\textrm{log 5}\textrm{ + } 4^{5}\textrm{log 5}}{^{3}\textrm{log 9}}

\textrm{ = }\frac{\frac{3}{2}^{5}\textrm{log 3.}^{3}\textrm{log 5}\textrm{ + } 4^{5}\textrm{log 5}}{^{3}\textrm{log 3}^{2}}

\textrm{ = }\frac{\frac{3}{2}^{5}\textrm{log 5}\textrm{ + } 4^{5}\textrm{log 5}}{2^{3}\textrm{log 3}}

\textrm{ = }\frac{\frac{3}{2}\textrm{(1)}\textrm{ + } 4\textrm{(1)}}{2\textrm{(1)}}

\textrm{ = }\frac{\frac{3}{2}\textrm{ + }\frac{4}{2}}{2}

\textrm{ = }\frac{\frac{11}{2}}{2}

\textrm{ = }\frac{11}{4}

Jawaban: E


Contoh 2:

Jika ²log 3 = a dan ³log 5 = b maka ⁵ log 20 = ....

\textrm{A. }\frac{2}{a}

\textrm{B. }\frac{2+ab}{a(1+b)}

\textrm{C. }\frac{a}{2}

\textrm{D. }\frac{b+1}{2ab+1}

\textrm{E. }\frac{a(1+b)}{2+ab}

Pembahasan:

^{15}\textrm{log 20}=\frac{^{3}\textrm{log 20}}{^{3}\textrm{log 15}}

=\frac{^{3}\textrm{log (2}^{2}.5)}{^{3}\textrm{log (3.5)}}

=\frac{^{3}\textrm{log 2}^{2}+^{3}\textrm{log 5}}{^{3}\textrm{log 3}+^{3}\textrm{log 5}}

=\frac{2^{3}\textrm{log 2}+^{3}\textrm{log 5}}{^{3}\textrm{log 3}+^{3}\textrm{log 5}}

=\frac{2\frac{1}{^{2}\textrm{log 3}}+^{3}\textrm{log 5}}{^{3}\textrm{log 3}+^{3}\textrm{log 5}}

Substitusi nilai ²log 3 = a dab ³ pada persamaan di atas sehingga diperoleh persamaan berikut.

=\frac{2\frac{1}{a}+b}{1+b}=\frac{\frac{2}{a}+b}{1+b}=\frac{\frac{2+ab}{a}}{1+b}=\frac{2+ab}{a(1+b)}

Jawaban: C

Mudah kan? Masih ada pertanyaan? Tinggalkan komentar di bawah!